Trigonometría: ejercicio PAES resuelto

¡Hola! Para resolver este problema, tenemos que identificar qué razón trigonométrica nos sirve.

• Tenemos un triángulo rectángulo (formado por el poste, el suelo y la línea de visión).
• Conocemos el ángulo de elevación ($30^\circ$) y el cateto adyacente al ángulo (la distancia al poste, $10$ metros).
• Queremos encontrar la altura del poste, que es el cateto opuesto al ángulo.
• La razón trigonométrica que relaciona el cateto opuesto con el cateto adyacente es la tangente.

El primer paso es plantear la ecuación:
$\tan(\theta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}$

Reemplazamos con los valores que nos dieron:
$\tan(30^\circ) = \frac{\text{altura}}{10}$

Sabemos que el valor de $\tan(30^\circ)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Entonces, nuestra ecuación queda:
$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\text{altura}}{10}$

Para despejar la altura, multiplicamos ambos lados por $10$:
$\text{altura} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{altura} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ metros}$

Por lo tanto, la altura del poste es $\frac{10\sqrt{3}}{3}$ metros, que corresponde a la alternativa A.

Algunos errores comunes que podrías haber cometido:

• Si hubieras confundido la tangente con el cotangente o multiplicado mal, podrías haber llegado a $10\sqrt{3}$ metros (alternativa B).
• Si hubieras usado el seno en vez de la tangente ($\sin(30^\circ) = \frac{\text{altura}}{10}$), habrías obtenido $5$ metros (alternativa C), porque $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
• La alternativa D ($20$ metros) podría ser un error si hubieras usado la cosecante o el doble de la distancia, pero no se relaciona directamente con la razón trigonométrica correcta para este caso. ¡Así que ojo ahí!