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Matemática M2 · Pregunta #252

Trigonometría: ejercicio PAES resuelto

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Pregunta

En una obra de construcción en Antofagasta, se necesita calcular el ángulo de elevación mínimo para que una grúa pueda alcanzar la parte superior de un edificio de 40 m40 \, \text{m} de altura, situándose la base de la grúa a 30 m30 \, \text{m} horizontalmente del edificio. Si el brazo de la grúa es horizontal hasta el punto de apoyo, ¿cuál es la expresión trigonométrica que permite calcular la tangente del ángulo de elevación θ\theta?

  1. A.

    tan⁡(θ)=3040\tan(\theta) = \frac{30}{40}

  2. B.

    tan⁡(θ)=4030\tan(\theta) = \frac{40}{30}

  3. C.

    sin⁡(θ)=4030\sin(\theta) = \frac{40}{30}

  4. D.

    cos⁡(θ)=3040\cos(\theta) = \frac{30}{40}

Revisar la respuesta y el procedimiento

Respuesta correcta y explicación

Alternativa B

tan⁡(θ)=4030\tan(\theta) = \frac{40}{30}

  1. Identificamos los lados del triángulo rectángulo formado por la distancia horizontal (30 m30 \, \text{m}) y la altura del edificio (40 m40 \, \text{m}).
  2. La definición de la tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente: tan⁡(θ)=opuestoadyacente\tan(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}.
  3. El lado opuesto al ángulo de elevación θ\theta es la altura del edificio, que mide 40 m40 \, \text{m}.
  4. El lado adyacente al ángulo θ\theta es la distancia horizontal, que mide 30 m30 \, \text{m}.
  5. Por lo tanto, la relación correcta es tan⁡(θ)=4030\tan(\theta) = \frac{40}{30}.
  6. La alternativa A invierte la relación (adyacente/opuesto), lo cual corresponde a la cotangente.
  7. La alternativa C usa el seno, que requiere la hipotenusa (la longitud del brazo inclinado), no los catetos.
  8. La alternativa D usa el coseno, que también requiere la hipotenusa, por lo que es incorrecta.

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