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Matemática M2 · Pregunta #229

Funciones exponenciales y logarítmicas: ejercicio PAES resuelto

Contenido de preunet.cl · Evaluación automática: 95/100 · Evaluada el

Pregunta

Una comuna de la Región Metropolitana está investigando el crecimiento de una especie invasora de arbusto. Se ha modelado su área cubierta A(t)A(t) en metros cuadrados, después de tt meses, mediante la función A(t)=15⋅(1,2)tA(t) = 15 \cdot (1{,}2)^t.

¿Aproximadamente cuánto tiempo (en meses) debe transcurrir para que el área cubierta por el arbusto se duplique, considerando que se usa el logaritmo natural (ln) con ln⁡(2)≈0,693\ln(2) \approx 0{,}693 y ln⁡(1,2)≈0,182\ln(1{,}2) \approx 0{,}182?

  1. A.

    2,5

  2. B.

    3,8

  3. C.

    4,5

  4. D.

    18,7

Revisar la respuesta y el procedimiento

Respuesta correcta y explicación

Alternativa B

3,8

  • Primero, identificamos la función: A(t)=15⋅(1,2)tA(t) = 15 \cdot (1{,}2)^t. Donde A(t)A(t) es el área en metros cuadrados después de tt meses.
  • El valor inicial del área, cuando t=0t=0, es A(0)=15⋅(1,2)0=15⋅1=15A(0) = 15 \cdot (1{,}2)^0 = 15 \cdot 1 = 15 metros cuadrados.
  • Queremos saber cuándo el área se duplica, es decir, llega a 2×15=302 \times 15 = 30 metros cuadrados.
  • Planteamos la ecuación: 15⋅(1,2)t=3015 \cdot (1{,}2)^t = 30.
  • Dividimos ambos lados por 15: (1,2)t=3015=2(1{,}2)^t = \frac{30}{15} = 2.
  • Para despejar tt, aplicamos logaritmo natural (ln) a ambos lados de la ecuación:
    ln⁡((1,2)t)=ln⁡(2)\ln((1{,}2)^t) = \ln(2)
  • Usamos la propiedad de los logaritmos ln⁡(ab)=b⋅ln⁡(a)\ln(a^b) = b \cdot \ln(a):
    t⋅ln⁡(1,2)=ln⁡(2)t \cdot \ln(1{,}2) = \ln(2)
  • Despejamos tt:
    t=ln⁡(2)ln⁡(1,2)t = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}2)}
  • Ahora, sustituimos los valores aproximados que nos dieron: ln⁡(2)≈0,693\ln(2) \approx 0{,}693 y ln⁡(1,2)≈0,182\ln(1{,}2) \approx 0{,}182.
    t≈0,6930,182t \approx \frac{0{,}693}{0{,}182}
  • Realizamos la división:
    t≈3,8076...t \approx 3{,}8076...
  • Redondeando a una cifra decimal, obtenemos t≈3,8t \approx 3{,}8 meses.
  • La alternativa A) 2,52,5 podría surgir de errores de cálculo o de aplicar mal las propiedades de los logaritmos.
  • La alternativa C) 4,54,5 también podría ser resultado de un error de cálculo o redondeo incorrecto.
  • La alternativa D) 18,718,7 podría resultar de un error común, como calcular log⁡1,2(30)\log_{1{,}2}(30) en lugar de log⁡1,2(2)\log_{1{,}2}(2), es decir, no simplificar la ecuación antes de aplicar logaritmos (ln⁡(30)ln⁡(1,2)≈3,4010,182≈18,68\frac{\ln(30)}{\ln(1{,}2)} \approx \frac{3{,}401}{0{,}182} \approx 18{,}68).
  • Por lo tanto, la alternativa correcta es la B) 3,83,8.

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