Números reales: ejercicio PAES resuelto

Ya po, mira, para resolver este problemita, tenemos que trabajar con el área de un círculo y desigualdades.

• Primero, el área de un círculo se calcula con la fórmula $A = \pi r^2$.
• Según el enunciado, el área $A$ debe ser mayor que $27\pi$ y menor que $50\pi$. Esto lo podemos escribir como una desigualdad:
  $27\pi < \pi r^2 < 50\pi$
• Ahora, para encontrar los posibles valores de $r$, podemos dividir toda la desigualdad por $\pi$. Como $\pi$ es un número positivo, la dirección de las desigualdades se mantiene:
  $27 < r^2 < 50$
• Luego, aplicamos la raíz cuadrada a todos los términos para despejar $r$. Como el radio $r$ debe ser positivo, consideramos solo la raíz positiva:
  $\sqrt{27} < r < \sqrt{50}$
• Para saber qué valor NO podría ser $r$, necesitamos estimar los valores de $\sqrt{27}$ y $\sqrt{50}$:
  • Sabemos que $5^2 = 25$ y $6^2 = 36$, entonces $\sqrt{27}$ está entre $5$ y $6$. Un valor aproximado es $5{,}19$.
  • Sabemos que $7^2 = 49$ y $8^2 = 64$, entonces $\sqrt{50}$ está entre $7$ y $8$. Un valor aproximado es $7{,}07$.
• Así que el radio $r$ debe estar en el intervalo aproximadamente entre $5{,}19$ y $7{,}07$. Es decir, $r \in (\sqrt{27}, \sqrt{50})$.
• Ahora revisemos las alternativas:
  • A) $5$: Este valor es menor que $\sqrt{27}$ (ya que $5 < 5{,}19$). Por lo tanto, $5$ NO podría ser el radio.
  • B) $\sqrt{30}$: Como $27 < 30 < 50$, entonces $\sqrt{27} < \sqrt{30} < \sqrt{50}$. Este valor SÍ podría ser el radio.
  • C) $6$: Como $27 < 36 < 50$, entonces $\sqrt{27} < 6 < \sqrt{50}$. Este valor SÍ podría ser el radio.
  • D) $\sqrt{48}$: Como $27 < 48 < 50$, entonces $\sqrt{27} < \sqrt{48} < \sqrt{50}$. Este valor SÍ podría ser el radio.
• La alternativa que NO cumple con la condición es la A.