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Matemática M2 · Pregunta #108

Trigonometría: ejercicio PAES resuelto

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Pregunta

En un parque eólico ubicado en la comuna de Freirina, dos aerogeneradores PP y QQ se encuentran a una distancia de 60 m60\text{ m} y 100 m100\text{ m}, respectivamente, de una caseta de monitoreo MM. Si el ángulo con vértice en la caseta formado entre las líneas de visión hacia ambos aerogeneradores (∠PMQ)(\angle PMQ) es de 60∘60^\circ, ¿cuál es la distancia en línea recta entre los aerogeneradores PP y QQ?

  1. A.

    2019 m20\sqrt{19}\text{ m}

  2. B.

    2034 m20\sqrt{34}\text{ m}

  3. C.

    140 m140\text{ m}

  4. D.

    10106 m10\sqrt{106}\text{ m}

Revisar la respuesta y el procedimiento

Respuesta correcta y explicación

Alternativa A

2019 m20\sqrt{19}\text{ m}

¡Vamos con todo a resolver este problema de trigonometría!
Para calcular la distancia entre los dos puntos conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, usamos el teorema del coseno.
La fórmula nos dice: d2=a2+b2−2abcos⁡(60∘)d^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(60^\circ).
Reemplazamos las distancias conocidas: d2=602+1002−2⋅60⋅100⋅cos⁡(60∘)d^2 = 60^2 + 100^2 - 2 \cdot 60 \cdot 100 \cdot \cos(60^\circ).
Calculamos los cuadrados: 602=3.60060^2 = 3.600 y 1002=10.000100^2 = 10.000, por lo que a2+b2=13.600a^2 + b^2 = 13.600.
Sabemos que cos⁡(60∘)=12\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}, entonces el término a restar es 2⋅60⋅100⋅12=6.0002 \cdot 60 \cdot 100 \cdot \frac{1}{2} = 6.000.
Restamos los valores: d2=13.600−6.000=7.600d^2 = 13.600 - 6.000 = 7.600.
Aplicamos raíz cuadrada: d=7.600=400⋅19=2019 md = \sqrt{7.600} = \sqrt{400 \cdot 19} = 20\sqrt{19}\text{ m}.
Por lo tanto, la alternativa correcta es la A.

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